Ho l’abitudine di recuperare uno stato di sonnolenza, e dunque il sonno, per i frequenti risvegli notturni che mi capitano da qualche tempo, affrontando questioni non direi matematiche, per non sopravvalutare, ma almeno numeriche.
Riflettere al buio, nel dormiveglia, su numeri e formule, è un ottimo esercizio per la mente che qualche volta ha séguito nei sogni con notevoli stimoli se non intuizioni.
Di recente, una imprevedibile interruzione del sonno mi ha spinto a pensare a quella strana e -sulle prime- complessa formula risolutiva delle equazioni di secondo grado, anche per favorirne l’apprendimento al giovane allievo che sostengo per volontariato.
Senza perdermi in particolari matematici, in casi particolari, mi sono chiesto come si potesse giungere a quella senza la scrittura di passaggi e altre formule: diciamo… in modo concettuale.
Ebbene, in sostanza risolvere un’equazione di secondo grado, sintesi risolutiva di innumerevoli problemi matematici e fisici, significa, nella sua forma essenziale determinare due valori dei quali conosciamo somma e prodotto.
Per essere pignoli potremmo dire che se l’equazione di secondo grado ammette due valori che la soddisfano, essa discende dal prodotto di due differenze: l’incognita meno la prima soluzione per l’incognita meno la seconda soluzione, il tutto eguagliato a zero. Da cui quella forma essenziale.
Dunque, come determinare due valori conoscendone somma e prodotto? E senza rischiare di ricadere per un ciclo infinito in una nuova equazione di secondo grado? L’algebra ci dice (e la cosa è semplice) come passare dalla somma di due termini alla loro differenza conoscendone il prodotto. Basta ricordare che la somma di un binomio al quadrato e la differenza, ancora al quadrato, differiscono per quattro volte il prodotto dei due termini dello stesso binomio. Il gioco è fatto.
Determinata la differenza tra i due valori che soddisfano l’equazione di secondo grado, possiamo calcolarli semplicemente: la loro somma più la loro differenza diviso due ci dà il maggiore, mentre la loro somma meno la loro differenza, ancora diviso due, ci dà il minore.
Perciò la ricerca delle due “soluzioni” dell’equazione di secondo grado si conclude col calcolo della metà della somma, nel primo caso e della differenza, nel secondo caso, tra il valore somma che compare nell’equazione e la radice quadrata della stessa somma diminuita di quattro volte il prodotto, anche questo presente nell’equazione. Se questa differenza è positiva è possibile l'estrazione di radice e in tal modo abbiamo raggiunto lo scopo. È tutto.
Una spiegazione appena un po' più... tecnica?